Alexander Melnikov a étudié au Conservatoire de Moscou auprès de Lev Naumov et a été marqué très tôt par Svjatoslav Richter. Lauréat de concours prestigieux, dont Zwickau (1989) et le Concours Reine Élisabeth (1991), il se distingue par des programmes originaux et un profond intérêt pour l’interprétation historiquement informée, influencé notamment par Andreas Staier et Alexeï Lioubimov.
Il se produit régulièrement avec des ensembles sur instruments d’époque et de grands orchestres internationaux, sous la direction de chefs renommés. Musicien de chambre engagé, il collabore étroitement avec Andreas Staier, Jean-Guihen Queyras et sa partenaire de longue date Isabelle Faust, avec qui il a enregistré des sonates acclamées de Beethoven, Brahms et Mozart.
Ses enregistrements incluent notamment les Préludes et Fugues de Chostakovitch (classés parmi les 50 meilleurs enregistrements de tous les temps par la BBC) ainsi que des projets consacrés à Schumann, Beethoven et Prokofiev. Les saisons récentes et à venir comprennent des concerts avec des orchestres de premier plan, des projets de musique de chambre et des récitals en Europe et en Asie, ainsi que de nouveaux enregistrements comme Visiting Rachmaninov (2025).